Мне нравится думать о лемме Цорна как о гарантии того, что алгоритмы могут работать столько, сколько необходимо, прежде чем их остановит какое-то препятствие (будь то цепь без верхней границы или максимальный элемент). Таким образом, любая финитная конструкция, построенная с помощью алгоритма (например, выбор лучшего базиса для конечномерного векторного пространства), имеет хорошие шансы распространиться и на бесконечную ситуацию с помощью аргумента леммы Цорна. Хороший способ понять, что мы делаем, таков: мы рассматриваем действительные числа как векторное пространство над рациональными числами, и мы пытаемся построить основу для этого векторного пространства, где это означает набор B действительных чисел, такой что каждое действительное число является рациональной линейной комбинацией чисел в B ровно одним способом. Тогда, если мы определим значения f как угодно для чисел из B и определим значения f очевидным образом для рациональных линейных комбинаций этих чисел, мы получим функцию от \mathbb{R} до \mathbb{R} который линейен по рациональным числам и, следовательно, аддитивен, но не обязательно имеет форму f (x) = \ lambda x. Теперь \mathbb{R}, рассматриваемое как векторное пространство над \mathbb{Q}, заведомо бесконечномерно. На самом деле она имеет несчетную размерность. Так есть ли у него основа? (Все, что мы подразумеваем под «имеет несчетную размерность», это «не может быть натянуто на счетное множество векторов», поэтому по определению неверно, что оно имеет базис.) Вдохновленный конечномерными векторными пространствами, соблазнительно сказать: «Выберите максимальное линейно независимое множество», поскольку такое множество не только линейно независимо, но и охватывает все пространство, так как в противном случае мы могли бы просто выбрать элемент, который не принадлежит его линейной области, и мы могли бы добавить его в линейно независимое множество, противоречащее максимальности. Итак, теперь мы, кажется, закончили: мы ищем базис \mathbb{R} над \mathbb{Q}, и все, что нам нужно сделать, чтобы найти базис любого векторного пространства, это взять максимальное линейно независимое множество. Но почему должно существовать максимальное линейно независимое множество? Разве это не та самая трудность, с которой мы столкнулись ранее: мы могли продолжать выбирать все более и более рационально независимые действительные числа, но, казалось, мы никогда не достигали точки, в которой мы больше не могли продолжать. Давайте теперь прервем этот пример для более общего обсуждения леммы Цорна и того, как ее использовать. ... Так как же в общем понять необходимость леммы Цорна и как построить подходящее частично упорядоченное множество, чтобы применить ее? Подсказки находятся в двух примерах выше. Как правило, кто-то пытается построить какую-то структуру (например, основу для векторного пространства или правильное упорядочение множества). Кажется, что естественный способ сделать это состоит в том, чтобы построить структуру поэтапно, но стадий слишком много, чтобы это работало прямолинейно. Однако, как только у человека появится представление о том, что такое этап и каков процесс построения, можно использовать лемму Цорна, чтобы закончить работу. Частично упорядоченный набор будет состоять из всех объектов, которые предположительно могут быть этапами построения, и один из этих объектов будет меньше другого, если он может предположительно предшествовать другому в процессе построения. Если полученный частичный порядок удовлетворяет условию цепочки и если максимальный элемент должен быть структурой того типа, который пытаются построить, то доказательство завершено.